fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Odvození vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti

8.8.2017

Aritmetickou posloupností se nazývá taková posloupnost, pro kterou platí, že rozdíl dvou po sobě jdoucích členů je roven konstantě - označíme si ji d. Potom je zřejmé, že známe-li d a první člen posloupnosti $a_1$, potom pro libovolný člen posloupnosti $a_n$ platí:

$a_n = a_1 + (n-1)d$ (1)

Součet $S_N$ prvních N členů této posloupnosti bude roven:

$S_N = ∑↙{k=1}↖N (a_1 + (k-1)d)$ (2)

Podobně jako v případě geometrické posloupnosti bychom chtěli součet $S_N$ vyjádřit pomocí jednoduchého výrazu obsahujícího $a_1$, $d$ a $N$. Za tím účelem se podíváme na vztah (2), který upravíme:

$S_N = ∑↙{k=1}↖N a_1 + ∑↙{k=1}↖N ((k-1)d) = N a_1 + ∑↙{k=1}↖N (kd-d) = N a_1 + ∑↙{k=1}↖N kd - ∑↙{k=1}↖N d$

Neboli:

$S_N = N a_1 - Nd + d∑↙{k=1}↖N k$ (3)

To je téměř to, co bychom potřebovali, jen nám tam "překáží" poslední člen se sumou $∑↙{k=1}↖N k$. Sčítají se tam všechna přirozená čísla od jedné do N (neboli je to součet prvních N členů aritmetické posloupnosti s prvním členem rovným jedné a d rovným též jedné). Co s tím? Zkusíme odvodit vzorec pro vyjádření tohoto součtu.

Pomůžeme si představou čtverce o straně délky k jednotek - čtverec tak bude složen z $k^2$ buněk o jednotkové ploše. Buňky rozdělíme do tří oblastí tak, jak je to barevně ukázáno na následujícím obrázku (kde je pochopitelně případ pro konkrétní hodnotu k=5). Bílá část tvořená diagonálou čtverce obsahuje k buněk. Počet buněk v červené i modré oblasti je stejný a je roven součtu (k-1) + (k-2) + ... + 2 + 1 neboli $∑↙{m=1}↖{k-1} m$.

k k

Buňky ve čtverci můžeme rozdělit třeba i takto:

k k

Nyní užitím prosté úvahy, že součet buněk v jednotlivých částech čtverce musí být roven počtu buněk celého čtverce, napíšeme:

$k^2 = k + 2 ∑↙{m=1}↖{k-1} m$ (4)

Neboli počet buněk ve čtverci $k^2$ je roven počet bílých buněk $k$ plus počet červených buněk plus počet modrých buněk. Protože je počet červených buněk stejný jako počet modrých buněk, je ve vzorci dvojnásobek tohoto počtu: $2 ∑↙{m=1}↖{k-1} m$.

Platnost vzorce (4) můžeme snadno ověřit na konkrétních případech malých hodnot k. To ovšem není důkazem jeho obecné platnosti pro libovolné k. Vzorec dokážeme matematickou indukcí a pro tento účel si ho rovnou upravíme do tvaru, ketrý se nám bude přímo hodit do vztahu (3). Jednak na levé straně budeme mít samotnou sumu a též v sumě chceme sčítat do $N$ a ne do $N-1$. Upravíme tedy (4) a $k$ nahradíme $k+1$:

$∑↙{m=1}↖{k-1} m = {k^2 - k} / 2$

$∑↙{m=1}↖k m = {(k+1)^2 - (k+1)} / 2$

$∑↙{m=1}↖k m = {(k+1)k}/2$ (5)

Vzorec (5) dokážeme pro $k=1$:

$∑↙{m=1}↖1 m = {(1+1)1}/2$

$1 = 1$

Nyní potřebujeme platnost vzorce (5) ověřit pro $k+1$, pokud platí pro $k$:

$∑↙{m=1}↖{k+1} m = {((k+1)+1)(k+1)}/2$

$∑↙{m=1}↖k m + (k+1) = {(k+2)(k+1)}/2$

$∑↙{m=1}↖k m = {(k+2)(k+1)-2(k+1)}/2 = {(k+1)k}/2$

Tímto jsme dokázali platnost (5) pro všechna přirozená $k$. Za sumu do vztahu (3) dosadíme výraz z (5) a budeme upravovat:

$S_N = N a_1 - Nd + d{{(N+1)N}/2} = N a_1 + d {{(N+1)N-2N}/2} = N a_1 + {{N(N-1)}/2} d$

Ze součtu vytkneme $N/2$:

$S_N = {N/2} (2a_1 + (N-1)d) = {N/2} (a_1 + (a_1 + (N-1)d))$

A tedy:

$S_N = {N/2} (a_1 + a_N)$

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.