fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Důkaz pravidla pro dělitelnost jedenácti

10.5.2015

Poznámka č. 1: Všechna čísla, se kterými budeme počítat jsou přirozená.

Poznámka č. 2: "Lichou" číslicí se myslí číslice s lichým pořadovým číslem počítáno od jedné od nejnižšího řádu. První číslice je číslice na pozici nultého řádu. Podobně pro "sudé" číslice.

Pravidlo zní: dané číslo je dělitelné jedenácti tehdy, když je rozdíl součtu lichých a sudých číslic dělitelný jedenácti nebo roven nule.

Číslo a se v desítkové číselné soustavě zapisuje an...a2a1a0, kde koeficienty ai jsou číslice čísla a (číslo an + 1 číslic). Platí vztah:

a = 10n * an + ... + 100 * a2 + 10 * a1 + a0   (1)

Libovolnou mocninu deseti lze vyjádřit následujícím vztahem:

10k = [ $∑↙{i=0}↖{k-1}$ ((-1)i * 10k-1-i * 11) ] + [ (-1)k ]   (2)

Tento vztah říká, že každou mocninu deseti lze rozdělit na součet nějakého čísla dělitelného jedenácti (první hranatá závorka) a jedničky nebo mínus jedničky (druhá hranatá závorka). Jednička to bude v případě sudé mocniny a mínus jednička při liché mocnině desíti.

Vzorec (2) lze odvodit za pomoci jednoduššího vztahu:

10k = 10k-1 * 11 - 10k-1   (3)

Rekurzivním opakováním vztahu (3) na nějakou mocninu deseti dosáhneme rozložení do tvaru (2).

Přepíšeme (1) za pomoci (2):

a = ($∑↙{i=0}↖{n-1}$ ((-1)i * 10n-1-i * 11) + (-1)n) * an + ... + (10 * 11 - 11 + 1) * a2 + (11 - 1) * a1 + a0   (4)

Můžeme rozdělit na část dělitelnou jedenácti (první hranatá závorka) a zbytek (druhá hranatá závorka):

a = [ $∑↙{i=0}↖{n-1}$ ((-1)i * 10n-1-i * 11) * an + ... + (10 * 11 - 11) * a2 + 11 * a1 ] + [ (-1)n * an + ... + a2 - a1 + a0 ]   (5)

Aby bylo číslo a v (5) dělitelné jedenácti musí být číslo ve druhé hranaté závorce dělitelné jedenácti nebo rovné nule. Všimneme si, že se jedná o ciferný součet čísla a, ovšem s tou zvláštností, že se u jednotlivých číslic mění znaménko. U číslic na lichých řádech je záporné a na sudých kladné (nejnižší řád v čísle je nultý 100=1). Z těchto úvah přímo plyne pravidlo, které jsme chtěli dokázat.

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.