fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Důkaz pravidla pro dělitelnost třemi

Poznámka: všechna čísla, se kterými budeme počítat jsou přirozená.

Pravidlo zní: dané číslo je dělitelné třemi tehdy, když je třemi dělitelný jeho ciferný součet.

Číslo a se v desítkové číselné soustavě zapisuje an...a2a1a0, kde koeficienty ai jsou číslice čísla a (číslo an + 1 číslic). Platí vztah:

a = 10n * an + ... + 100 * a2 + 10 * a1 + a0   (1)

Vztah (1) je možné přepsat následovně:

a = (an + (10n - 1) * an) +... + (a2 + 99 * a2) + (a1 + 9 * a1) + a0   (2)

Přeskupením sčítanců v (2) dostaneme:

a = [an + ... + a2 + a1 + a0] + [(10n - 1) * an + ... + 99 * a2 + 9 * a1]   (3)

Výraz v první hranaté závorce je ciferný součet čísla a. Je zřejmé, že výraz v druhé hranaté závorce je dělitelný třemi (a také devíti). Pokud je ciferný součet dělitelný 3, pak existuje takové číslo j, že platí [an + ... + a2 + a1 + a0] = j * 3. Přepíšeme rovnici (3):

a = j * 3 + [(10n - 1) * an + ... + 99 * a2 + 9 * a1]   (4)

Z rovnice (4) je tedy vidět, že pokud je ciferný součet dělitelný 3, je také číslo a dělitelné 3.

Poznámka: z uvedeného je také zřejmé, proč platí podobné pravidlo pro dělitelnost číslem 9.