fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Odvození postupu pro zjištění dělitelnosti sedmi

5.2.2017

Známé pravidlo pro zjištění dělitelnosti sedmi říká, že číslice daného přirozeného čísla od nejnižšího řádu po nejvyšší máme postupně násobit čísly z uspořádané množiny {1,3,2,6,4,5}. Pokud z množiny násobíme posledním číslem v pořadí, v dalším kroku bereme čísla opět od začátku. Jednotlivé součiny si poznamenáme a nakonec sečteme. Pokud je tento finální součet dělitelný sedmi, pak je sedmi dělitelné i původní číslo. Zde tento postup odvodíme a vysvětlíme si, jak funguje.

V souvislosti s číslem 7 si všimneme, že jednička dělená sedmi je periodické číslo s periodou délky 6:

$1 / 7 = 0.\ov142857$   (1)

Číslo a se v desítkové číselné soustavě zapisuje an...a2a1a0, kde koeficienty ai jsou číslice čísla a (číslo an + 1 číslic). Platí vztah:

a = a0 + 10 * a1 + 100 * a2 + ... + 10n * an   (2)

Vztah přepíšeme tak, že mocniny deseti zapíšeme jako součet největšího násobku sedmi a zbytku. Například 100 zapíšeme jako 2 + 98, protože 100 = 2 + 7 * 14. Takto upravený zápis bude tedy vypadat takto:

a = a0 + (3 + 7) * a1 + (2 + 98) * a2 + (6 + 994) * a3 + (4 + 9996) * a4 + (5 + 99995) * a5 + ...   (3)

Nyní chceme, aby bylo číslo a dělitelné sedmi, to znamená, aby platilo, že a = 7 * k, kde k je přirozené číslo. Zapíšeme rovnost pro a0 až a5 (k zobecnění se vrátíme):

a0 + (3 + 7) * a1 + (2 + 98) * a2 + (6 + 994) * a3 + (4 + 9996) * a4 + (5 + 99995) * a5 = 7 * k   (4)

Levou stranu přeskupíme do dvou sčítanců, kdy jeden bude dělitelný sedmi a druhý bude obsahovat zbytek:

[a0 + 3 * a1 + 2 * a2 + 6 * a3 + 4 * a4 + 5 * a5] + [7 * a1 + 98 * a2 + 994 * a3 + 9996 * a4 + 99995 * a5] = 7 * k   (5)

Druhou hranatou závorku se členy dělitelnými sedmi převedeme na pravou stranu rovnosti a vytkneme sedmičku:

a0 + 3 * a1 + 2 * a2 + 6 * a3 + 4 * a4 + 5 * a5 = 7 * [k - a1 - 14 * a2 - 142 * a3 - 1428 * a4 - 14285 * a5]   (6)

Nyní máme na pravé straně číslo dělitelné sedmi. Aby platila rovnost, musí být i levá strana dělitelná sedmi. Levá strana ale představuje postup uvedený v úvodu tohoto pojednání - všimneme si koeficientů u členů a0 až a5.

Zatím jsme ovšem odvodili pouze postup pro maximálně pěticiferné číslo. Abysme mohli postup zevšeobecnit na libovolné číslo, všimneme si, že koeficienty u členů a1 až a5 na pravé straně rovnosti (6) jsou části desetinného periodického rozvoje ve výrazu (1). Dovětek v pravidle testu dělitelnosti, kdy cyklicky násobíme číslice testovaného čísla čísly z množiny {1,3,2,6,4,5}, dokážeme tak, že najdeme vztah pro generování rozladu n-té mocniny deseti na základě již vypsaných rozkladů, jak bylo provedeno v (4) a (6). Vytvoříme vztah, který určí rozklad pro 10n+6 na základě rozkladu pro 10n. Chceme ukázat periodicitu v těchto rozkladech. Budeme tedy mít:

10n = k + l * 7   (7)

10n+6 = k + m * 7   (8)

Rovnice odečteme:

10n+6 - 10n = 7 * (m - l)   (9)

Na levé straně vytkneme 10n a celou rovnici vydělíme sedmi:

10n * (106 - 1) / 7 = m - l   (10)

Dělení sedmi je násobení desetinným výrazem v (1):

10n * (106 - 1) * $0.\ov142857$ = m - l   (11)

10n * (142857.$\ov142857$ - $0.\ov142857$) = m - l   (12)

10n * 142857 = m - l   (13)

Z rovnice určíme parametr m:

m = l + 10n * 142857   (14)

Získali jsme tedy vztah:

10n+6 = k + (l + 10n * 142857) * 7   (15)

Známe-li rozklady pro 100 až 105, jsme schopni na základě tohoto vzorce provést rozklad pro libovolné číslo.

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.