fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Odvození vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti

6.8.2017

Geometrickou posloupností se nazývá taková posloupnost, pro kterou platí, že podíl dvou po sobě jdoucích členů je roven konstantě - označíme si ji q (q je reálné číslo různé od jedné). Potom je zřejmé, že známe-li q a první člen posloupnosti $a_1$, potom pro libovolný člen posloupnosti $a_n$ platí:

$a_n = a_1 q^{n-1}$ (1)

Součet $S_N$ prvních N členů této posloupnosti bude roven:

$S_N = a_1 ∑↙{k=1}↖N q^{k-1}$

Pokud od tohoto součtu odečteme prvek číslo N, získáme součet $S_{N-1}:$

$S_{N-1} = S_N - a_N$

Prvek $a_N$ na pravé straně rovnosti vyjádříme pomocí prvního prvku $a_1$ (vztah 1):

$S_{N-1} = S_N - a_1 q^{N-1}$

Obě strany rovnosti vynásobíme konstantou q:

$q S_{N-1} = q S_N - q a_1 q^{N-1}$

Upravíme druhý člen na pravé straně ($q q^{N-1}=q^N$):

$q S_{N-1} = q S_N - a_1 q^N$ (2)

Nyní si uvědomíme, že člen $q S_{N-1}$ na levé straně je roven $S_N - a_1$. Ukážeme si to tak, že si rozepíšeme součet $S_{N-1}$ a následně ho vynásobíme q:

$S_{N-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + ... + a_1 q^{N-2}$

$q S_{N-1} = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + ... + a_1 q^{N-1} = S_N - a_1$

Vrátíme se zpět k rovnosti (2), do které dosadíme odvozený vztah:

$S_N - a_1 = q S_N - a_1 q^N$

Z rovnice jednoduchými úpravami vyjádříme $S_N$:

$S_N - q S_N = a_1 - a_1 q^N$

$S_N (1 - q) = a_1 (1 - q^N)$

$S_N = a_1 {{1 - q^N}/{1 - q}}$

Získali jsme tedy vzorec pro výpočet součtu prvních N prvků geometrické posloupnosti. Zde bychom mohli skončit, ale ještě se trochu na ten náš vzorec podíváme.

Budeme upravovat pravou stranu:

$a_1 {{1 - q^N}/{1 - q}} = a_1 {{q^N - 1}/{q - 1}}$

Vydělíme mnohočleny ve zlomku:

${q^N - 1}/{q - 1} = q^{N-1} + {q^{N-1} - 1}/{q - 1}$

Získali jsme rekurentní vzorec pro rozklad podílu. Pokud ho budeme aplikovat tolikrát dokud mocnina u q v čitateli nebude 1, získáme:

${q^N - 1}/{q - 1} = q^{N-1} + q^{N-2} + q^{N-3} + ... + q^2 + q + 1$

Vrátíme zpět $a_1$, resp. předchozí rovnost vynásobíme $a_1$:

$a_1 {q^N - 1}/{q - 1} = a_1 q^{N-1} + a_1 q^{N-2} + a_1 q^{N-3} + ... + a_1 q^2 + a_1 q + a_1$

Pravá strana není nic jiného než rozepsaný součet $S_N$ prvních N členů posloupnosti.

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.