fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice

5.9.2016

Kvadratickou rovnicí se nazývá rovnice, která má tuto podobu:

a * x2 + b * x + c = 0   (1)

V tomto zápise x značí proměnnou, a,b,c jsou parametry kvadratické rovnice. Parametr a musí být různý od nuly. Pokud by totiž platilo a = 0, pak by se jednalo o lineární rovnici b * x + c = 0 . Dále tedy budeme uvažovat případ, kdy a je různé od nuly a b je různé od nuly (řešení rovnice a * x2 + c = 0 je triviální).

Nyní již k řešení rovnice (1). Připomeňme si známý vzorec pro umocnění součtu dvou čísel:

(o + p)2 = o2 + 2 * o * p + p2   (2) 1 2

Naším cílem je upravit rovnici (1) tak, aby měla tvar (x + K)2 + L = 0 (tzv. doplnění na čtverec). Řešení by potom mělo tvar $x = √{-L} - K$.

V prvním kroku rovnici vydělíme parametrem a:

${x^2 + {bx} / a + c / a = 0$   (3)

Nyní porovnáme s pravou stranou rovnosti (2). Porovnáním prvního členu stanovíme o = x, porovnáním druhého členu dostaneme rovnost:

$2 o p = {bx} / a$

dosadíme o = x:

$2 x p = {bx} / a$

vyjádříme p:

$p = b / {2 a}$

doplníme za o a p v levé straně rovnosti (2):

$(x + b / {2 a})^2$

nyní tímto členem nahradíme první dva členy v (3) takovým způsobem, aby byla zachována rovnost:

$(x + b / {2 a})^2 - (b / {2 a})^2 + c / a = 0$   (4)

postupnými úpravami vyjádříme x:

$(x + b / {2 a})^2 = (b / {2 a})^2 - c / a$

pravou stranu převedeme na společný jmenovatel:

$(x + b / {2 a})^2 = (b / {2 a})^2 - {4 a c} / {4 a^2}$

$(x + b / {2 a})^2 = {b^2 - 4 a c} / {4 a^2}$

odmocníme obě strany rovnice:

$x + b / {2 a} = ±√{b^2 - 4 a c} / {2 a}$

dále upravíme:

$x = ±√{b^2 - 4 a c} / {2 a} - b / {2 a}$

a konečně dostaneme známý vzorec, který se učí studenti na střední škole:

$x = {-b ± √{b^2 - 4 a c}} / {2 a}$

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.

1 Tento vzorec je známý s hodnotami a,b. Zde jsme použili parametry o,p z toho důvodu, aby bylo zřejmé, že tyto parametry nemají nic společného s parametry v rovnici (1).

2 Vzorec vyjadřuje 2 informace. 1) Jednak prostý fakt, že roznásobením levé strany dostaneme pravou stranu: (o + p)2 = (o + p) * (o + p) = o * o + o * p + p * o + p * p = o2 + 2 * o * p + p2. 2) Vzorec též říká, že pokud má nějaký výraz tvar na pravé straně této rovnosti, pak jeho ekvivalentním zápisem je výraz ne levé straně rovnosti. Toto už není tak zřejmé a přímočaré. Tohoto faktu využívá tzv. doplnění na čtverec.