fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Čas ve speciální teorii relativity

5.9.2016

Je známé, že ve speciální teorii relativity (na rozdíl od Newtonovské mechaniky), jsou při transformaci souřadnic mezi vzájemně se pohybujícími vztažnými soustavami časové a prostorové souřadnice provázány - tzv. Lorentzovy transformace. Zde se pokusíme na jednoduchém příkladě odvodit vzorec pro dilataci času. Při tom se nebudeme věnovat filosofickým ani fyzikálním úvahám, zajímá nás pouze samotný výpočet - neboli "správnost" speciální teorie relativity bereme za danou a na tomto základě provedeme jednoduché počty.

Pro speciální terorii relativity jsou klíčové 2 postuláty. První říká, že všechny soustavy vzájemně se pohybující rovnoměrně přímočaře jsou ekvivalentní - neboli popis jevů má stejný tvar nezávisle na soustavě, ve které jev zkoumáme. Druhý z nich obsahuje tvrzení, že rychlost světla ve vakuu je konstantní nezávisle na soustavě (z předchozího postulátu), ve které rychlost světla zkoumáme - neboli světlo má ve všech soustavách tohoto typu rychlost rovnou konstantě c.

Pro odvození vzorce si namodelujeme jednoduchou situaci (tato situace je pro svou jednoduchost a snadnou představu často používána v různých publikacích). Představíme si vlak jedoucí po koleji rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí v (v této idealizaci se vlak pohybuje velmi rychle, bez tření a ve vakuu). Zvolíme 2 souřadné soustavy, jedna bude spojena s pohybujícím se vlakem a druhá bude vázána na "nepohybující" se okolí - například železniční kolej, po které se vlak pohybuje. Za těchto podmínek provedeme myšlenkový pokus, kdy v pohybujícím se vlaku v libovolném místě vzdáleném d od podlahy vagonu zapneme světelný zdroj a budeme zjišťovat, za jak dlouho paprsek dorazí k bodu na podlaze přímo pod světelným zdrojem (světlo se bude od zdroje šířit všemi směry). Tento pokus popíšeme v každé z obou soustav, přičemž nás budou zajímat pouze 2 prostorové souřadnice - ve směru pohybu vlaku (x) a ve směru svislém (y).

Soustava spojená s vlakem

Počátek souřadné soustavy umístíme na podlahu vagonu do bodu, ve kterém budeme detekovat příchozí světlo. Počátek času bude odpovídat okamžiku zapnutí světelného zdroje. Máme tedy souřadnice výchozího bodu (zapnutí světla): x = 0, y = d, t = 0. Koncový bod (bod dopadu světla): x = 0, y = 0, t = T. Světlo tedy za čas T urazilo vzdálenost S = d = c * T.

Soustava spojená s kolejemi

Počátek této soustavy bude totžný s počátkem soustavy pohybujícího se vlaku v okamžiku zapnutí světla. Souřadnice spuštění světelného zdroje budou tedy v obou soustavách číselně rovné: x' = 0, y' = d, t' = 0 (souřadnice spojené s kolejemi označíme čárkovaně). Bod detekce světla bude mít souřadnice: x' = v * T', y' = 0, t' = T'. Cílový bod je v této soustavě v ose x posunutý, protože vlak během letu světla poodjel o vzdálenost v * T'. V tomto případě světlo za čas T' urazilo vzdálenost S' = $√{d^2 + v^2T'^2}$ (Pythagorova věta).

S = c * T S' = c * T' v * T'

Výpočet

Je zřejmé, že vzdálenost S' je větší než S, protože S' tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníka, jehož jednou odvěsnou je S. V tom případě ale není možné, aby se T rovnalo T' - s ohledem na zmíněné postuláty musí totiž platit:

$S / T = S' / T' ( = c )$.

Doplníme za S a S':

$d / T = √{d^2 + v^2T'^2} / T'$

Umocníme:

$d^2 / T^2 = {d^2 + v^2T'^2} / T'^2$

Dosadíme za d = c * T:

${c^2T^2} / T^2 = {c^2T^2 + v^2T'^2} / T'^2$

Upravujeme:

$c^2T'^2 = c^2T^2 + v^2T'^2$

$T'^2(c^2-v^2) = c^2T^2$

$T'^2 = T^2/{1-v^2/c^2}$

$T' = T/√{1-v^2/c^2}$

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.