fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Pro která dvě přirozená čísla a, b platí: a + b = ab?

7.12.2016

Otázka v nadpise jinými slovy hledá dvě přirozená čísla, jejichž součet se rovná jejich součinu. Budeme postupovat tak, že rovnici upravíme do tvaru, kdy bude vyjádřena závislost jedné proměnné na druhé.

$a + b = ab$

$a + b - ab = 0$

$a * (1 - b) + b = 0$

$a = b/{b - 1}$

$a = {(b - 1) + 1}/{b - 1}$

$a = 1 + 1/{b - 1}$

Ihned vidíme, že žádné z čísel nemůže být rovné jedné (jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat nule).

Zadání požaduje, aby obě čísla a, b byla přirozená. Aby číslo a na levé straně výsledné rovnice bylo přirozené, musí být pravá strana rovnice přirozené číslo. Zde vidíme součet1 jedničky (což je nepochybně přirozené číslo) a zlomku $1/{b - 1}$. Aby byl zlomek přirozeným číslem, musí platit, že čitatel je dělitelný jmenovatelem beze zbytku. V tomto případě, kdy je čitatel roven jedné, to bude splněno pouze tehdy, pokud bude jmenovatel též roven jedné. Položíme tedy podmínku b - 1 = 1, z čehož plyne výsledek b = 2. Dosazením do rovnice získáme a = 2.

Závěr tedy zní, že rovnici a + b = ab vyhovuje jediné řešení a = b = 2. A nejen to, výsledek též znamená, že číslo 2 je jediné přirozené číslo, pro které platí, že jeho druhá mocnina se rovná jeho dvojnásobku.2

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.

1 Součet dvou přirozených čísel je přirozené číslo.

2 Položíme b = a, pak a + a = aa, 2a = aa, upravíme a * (2 - a) = 0, jediné přirozené číslo splňující rovnici je číslo 2.