fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

Důkaz vzroce pro výpočet obsahu trojúhelníku

2.3.2017

Již na základní škole jsme se v matematice naučili, že obsah libovolného trojúhelníku spočítáme tak, že vynásobíme délku libovolné strany trojúhelníku s výškou náležící této straně a vydělíme dvěma. Neboli zapsáno vzrocem (S je obsah, a - délka strany, va - příslušná výška):

$S = {a*v_a} / 2$

Jinými slovy řečeno, obsah určitého trojúhelníku je roven polovině obsahu obdélníku s délkou jedné strany rovné straně trojúhelníku a délkou druhé strany rovné výšce trojúhelníku. Tuto ekvivalentní formulaci obsahu trojúhelníku použijeme pro důkaz platnosti vzorce. Problém rozdělíme na 3 části, tak jak je to vidět na následujícím obrázku.

A1 A2 A3 B C a va

Na obrázku zůstává jedna strana a příslušná výška trojúhelníku fixní, mění se pouze poloha vrcholu A. Tři naznačené případy postupně rozebereme.

Pravoúhlý trojúhelník

V tomto případě je přepona (strana AC) pravoúhlého trojúhelníku totožná s úhlopříčkou obdélníku. Víme, že přepona dělí obdélník na dva shodné trojúhelníky1 se stejným obsahem, vzorec je tedy automaticky splněn (plocha trojúhelníku je polovinou plochy obdélníku).

A B C a va

Ostroúhlý trojúhelník

Dle obrázku níže P značí bod, kde se protíná výška a příslušná strana. Úsečka AP potom dělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhlníky ABP a APC, a zároveň dělí obdélník na 2 obdélníky AKBP a APCL. Všimneme si, že jsme dostali identickou situaci jako v předešlém případě. Máme pravoúhlý trojúhelník (např. ABP), jehož přepona (AB) je shodná s úhlopříčkou obdélníku (AKBP) a tedy plocha trojúhelníku ABP je polovinou plochy obdélníku AKBP. To samé platí analogicky pro druhý trojúhelník APC. Pokud zavedeme označení S pro obsah trojúhelníku ABC, S1 pro obsah trojúhelníku ABP, S2 pro obsah trojúhelníku APC, T pro obsah obdélníku KLCB, T1 pro obsah obdélníku KAPB a T2 pro obsah obdélníku ALCP, pak jistě platí:

$S = S1 + S2$

$T = T1 + T2$

$T1 = 2*S1$

$T2 = 2*S2$

$S = {T1}/2 + {T2}/2 = T/2$

Závěr: obsah ostroúhlého trojúhelníku je polovinou obsahu obdélníku.

A P B C va K L

Tupoúhlý trojúhelník

V posledním případě, kdy se vrchol A trojúhelníku nachází mimo obdélník, ze kterého vycházíme při výpočtu, si při výpočtu trojúhelník ABC rozdělíme na dvě části (na dva trojúhelníky). Prvním bude pravoúhlý trojúhelník BCM, který se celý nachází uvnitř obdélníku. Druhou částí je trojúhelník ACM.

Jak je vidět z obrázku, bod M se nalézá v průsečíku strany AB trojúhelníku a strany CL obdélníku. Zavedli jsme další označení, kdy x1 značí stranu obdélníku mající horizontální směr. Vzdálenost vrcholu A trojúhelníku od vrcholu L obdélníku je označena x2. Vzdálenost bodu M od vrcholu C trojúhelníku je označenqa y1 a vzdálenost M od vrcholu L obdélníku je y2. Dále si symbolem S označíme obsah trojúhelníku ABC, S1 bude obsah trojúhelníku BCM a S2 bude plocha trojúhelníku ACM.

A B C x1 x2 y2 y1 va K L M N O

Trojúhelník BCM je pravoúhlý a jeho obsah S1 je roven polovině obahu obdélníku BCMN.

$S1 = {{x1}*{y1}}/2$

Zbývá ukázat, že obsah druhého trojúhelníku ACM je roven polovině obsahu obdélníku KLMN. Plochu trojúhelníku ACM vyjádříme jako rozdíl obsahu obdélníku ALCO a součtu obsahů pravoúhlých trojúhelníků ALM a ACO. Pro S2 tedy platí:

$S2 = x2*(y1+y2) - {{x2}*{y2}}/2 - {{x2}*{(y1+y2)}}/2$

Upravíme:

$S2 = x2*y1 + x2*y2 - {{x2}*{y2}}/2 - {{x2}*{y1}}/2 - {{x2}*{y2}}/2 = {{x2}*{y1}}/2$

Můžeme napsat:

$S = S1 + S2 = {{x1}*{y1}}/2 + {{x2}*{y1}}/2$ (1)

Obsah obdélníku KLCB označíme T:

$T = {x1}*{(y1+y2)}$ (2)

Jen malá poznámka. Ve vzorci (1) si můžeme všimnout, že obsahuje výpočet obsahu trojúhelníku ABC jako součet obsahů trojúhelníků BCM a ACM, ovšem s tím rozdílem, že jako základna je zde vzata jejich společná strana CM (tedy y1) a výšky takto zvolených stran potom jsou x1 a x2.

Pokud má platit vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku, musí být T = 2*S. Dosadíme z (1) a (2):

${x1}*{(y1+y2)} = {x1}*{y1} + {x2}*{y1}$

Upravíme:

${x1}*{y1} + {x1}*{y2} = {x1}*{y1} + {x2}*{y1}$

${x1}*{y2} = {x2}*{y1}$

${x1}/{x2} = {y1}/{y2}$ (3)

Pokud platí rovnost (3), potom jsme dokázali platnost vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku. Podívejme se znovu na obrázek. Trojúhelníky BCM a ALM jsou si podobné, protože mají stejně velké úhly. Tudíž platí, že poměr každých dvou vzájemně si odpovídajících stran v obou trojúhelnících (příslušejících stejnému úhlu) je konstantní neboli ${s}/{s'} = konstanta$. Odpovídající si strany ve zmíněných trojúhelnících jsou BC (x1) a AL (x2), a taktéž CM (y1) a LM (y2). Musí tedy platit:

${x1}/{x2} = {y1}/{y2}$

Poslední vzorec je potvrzením platnosti rovnosti (3). I u tupoúhlého trojúhelníku tak platí, že obsah trojúhelníku je polovinou obsahu příslušného obdélníku.

Pro formátování vzorců byl použit jqMath.

1 Oba trojúhelníky jsou identické. To je možné ověřit například aplikací shodného zobrazení tak, že jeden z trojúhelníků otočíme o 180° v libovolném smyslu okolo libovolného vrcholu a posuneme tak, aby splynul s druhým trojúhelníkem.