fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

 

Přidat řešení úlohyPřidat komentář

Početní "trik" s číslem 1089

Úkolem je vysvětlit, jak funguje následující postup.

Zvolíme libovolné trojciferné přirozené číslo s podmínkou, že se první a poslední číslice budou lišit alespoň o 2. V tomto čísle zaměníme první a poslední číslici. Tato dvě čísla vzájemně odečteme - menší od většího. S výsledkem opět provedeme záměnu první a poslední číslice a tato dvě čísla sečteme. Výsledkem bude vždy číslo 1089.

Pro ilustraci uvedu příklad:

1) Zvolím číslo 126

2) Záměnou číslic získám číslo 621

3) Odečtu menší číslo od většího 621-126=495

4) Ve výsledném čísle opět zaměním číslice a získám číslo 594

5) Tato dvě čísla sečtu 495+594=1089

6) Výsledkem je číslo 1089


Řešení číslo 1, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 08.02.2015 16:10

Číslice trojciferného čísla si označíme a,b,c.

V zápise čísla budeme jednotlivé číslice uzavírat do hranatých závorek - účel bude vidět později. Naše trojciferné číslo tedy zapíšeme [a][b][c].

1) Máme číslo [a][b][c] = a * 100 + b * 10 + c.

2) Zaměníme první a poslední číslici. Dostaneme tedy:
[c][b][a] = c * 100 + b * 10 + a.

3) Odečteme menší z těchto čísel od většího - předpokládejme v tuto chvíli, že číslo [a][b][c] je větší než [c][b][a] (na obecnosti řešení se tím nic nezmění).
Spočítáme rozdíl:
(a * 100 + b * 10 + c) - (c * 100 + b * 10 + a) = 99 * a - 99 * c = 99 * (a - c).
Z toho plyne jednak to, že tento mezivýsledek je dělitelný číslem 99. Dále si uvědomíme, že rodíl (a - c) může nabývat hodnot 2 až 9, což vyplývá ze zadání úlohy. Zamyslíme se nad tím jak vypadají násobky čísla 99: 2*99=198, 3*99=297, ...
Pro zjednodušení si (a - c) přeznačíme na k (hodnoty 2 až 9). Platí:
99 * k = 100 * k - k,
což zapsáno ve formě číslic vypadá následovně:
[k-1][9][10-k].

4) V mezivýsledku opět zaměníme první a poslední číslici.
Dostáváme [10-k][9][k-1].

5) Čísla máme sečíst:
[k-1][9][10-k] + [10-k][9][k-1] = [9][18][9],
což je zcela konkrétní číslo, ale vypadá divně, že? Přeci 18 není číslice. Vypočítáme hodnotu tohoto čísla:
[9][18][9] = 9 * 100 + 18 * 10 + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089.