fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

 

Přidat řešení úlohyPřidat komentář

Schodiště

V domě máme mezi dvěma patry dvě různá schodiště. Na každém z těchto schodišť jsou schody stejně vysoké. Jedno ze schodišť má každý schod vysoký 10 cm, druhé má o 11 schodů více než to první. Během dne jsem šel pětkrát nahoru a pětkrát ddolů, přičemž jsem si mezi temito schodišti vybíral náhodně. Celkem jeem na každém ze schodišť jsem zdolal stejný počet schodů. Jaký je výškový rozdíl bmezi patry?


Řešení číslo 1, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 27.09.2014 19:37

Označíme si počet schodů prvního schodiště p1 a výšku jednoho schodu prvního schodiště v1. Obdobně pro druhé schodiště si tyto hodnoty označíme p2 a v2. Výškový rozdíl pater si označíme H.
Je zřejmé, že výška schodiště - a tedy i hledaná hodnota H - je rovna součtu výšek všech schodù. V zadání je uvedeno, že jednotlivé schody určitého schodiště mají stejnou výšku. Platí tedy:

H = p1 * v1 = p2 * v2 (1)

Ze zadání víme, že platí:

v1 = 10 cm (2)

(Nezáleží na tom, které ze chodišť zvolíme za "první" a které za "druhé". Stejně tak bysme mohli zvolit v2 = 10 cm.)

Dále víme, že platí:

p2 = p1 + 11 (3)

Informaci o zdolávání schodišť nahoru a dolu zapíšeme následovně

N1 * p1 = N2 * p2 (4)

přičemž N1 je počet projití se po prvním schodišti a N2 je počet projití se po druhém schodišti. Součin N1 * p1 udává celkový počet zdolaných schodù prvního schodiště, obdobně součin N2 * p2 pro druhé schodiště. Ze zadání víme, že tato rovnost platí, jen nevíme jaké jsou hodnoty N1 a N2. Nicméně víme následující:

N1 + N2 = 10 (5)

Ve vztazích (4) a (5) je zahrnuta celá část zadání o zdolávání schodù včetně náhodnosti. Můžeme začít počítat. Vyjdeme ze vztahu (4), kam za N2 dosadíme výraz obsahující N1 ze vztahu (5), za p2 dosadíme výraz obsahující p1 ze vztahu (3):

N1 * p1 = (10 - N1) * (p1 + 11) ,upravujeme roznásobením závorek a dostaneme:

2 * N1 * p1 - 10 * p1 + 11 * N1 - 110 = 0 ,dále upravíme tak, že vytkneme p1:

p1 * (2 * N1 - 10) = 110 - 11 * N1 ,a tedy:

p1 = 11 * (10 - N1) / (2 * N1 - 10) (6)

Ve vztahu (6), který jsme obdrželi, neznáme ani p1 ani N1. Nicméně jsou nám známy dvě informace. Jednak musí platit 0 <= N1 <= 10, tedy počet projití prvním schodištěm musí být větší nebo rovno 0, ale zároveň musí být menší nebo rovno 10. Dále víme, že p1 musí být přirozené číslo, protože označuje počet schodù prvního schodiště. Zkusíme tedy do vztahu (6) dosazovat za N1 čísla od 0 do 10. Tímto způsobem rychle zjistíme, že jako jediná možnost vychází N1 = 6 a tedy p1 = 22. Ze vztahů (1) a (2) získáme výsledek: H = 220 cm.

Závěr:
Schodiště a tedy i výškový rozdíl pater jsou rovny 220 cm.