fundamental.cz
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY A POUČKYZAJÍMAVOSTIÚLOHYNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLANĚCO KE ČTENÍ

 

Přidat řešení úlohyPřidat komentář

Ořechy

Pepa nasbíral do košíku poslední spadlé ořechy a zavolal na partu holek, ať se o ně podělí. Dal si ale podmínku : první si vezme 1 ořech a desetinu zbytku, druhý si vezme 2 ořechy a desetinu nového zbytku, třetí si vezme 3 ořechy a desetinu dalšího zbytku a tak dále. Takto se podařilo rozebrat všechny ořechy a přitom každá dostala stejně.
Určete, kolik Pepa nasbíral ořechů a kolik se o ně dělilo děvčat.


Řešení číslo 1, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 18.10.2014 12:05

Označíme si celkový počet ořechů Q, počet děvčat n a počet ořechů, který dostala každá z děvčat p.
Ze zadání víme, že každá z dívek dostala stejný počet ořechů. Zapíšeme rovnicí:

Q = n * p (1)

Dále rovnicí zapíšeme způsob rozdělování ořechů. Poslední i předposlední děvče dostalo p ořechů, zapíšeme takto:

p = n + (Q - (n - 1) * p - n) / 10 (2)

Levá strana rovnice říká kolik ořechů dostala předposlední dívka, úplně stejně jako kterákoli jiná dívka - tedy p.
Pravá strana rovnice říká kolik ořechů dostala poslední dívka - tedy počet ořechů kolik je celkem dívek (n) plus desetinu zbytku. A zbytek se rovná celkový počet ořechů Q mínus počet ořechů, který dostaly předchozí dívky (n-1)*p mínus počet ořechů, který již dostala poslední dívka n.
Do rovnice (2) dosadíme za Q z rovnice (1):

p = n + (n * p - (n - 1) * p - n) / 10 (3)

Úpravou rovnice (3) získáme:

n = p (4)

Tedy počet dívek se rovná počtu ořechů, který dostala každá z dívek a tedy zároveň platí dle (1):

Q = n * n = p * p (5)

Celkový počet ořechů se tedy rovná druhé mocnině počtu dívek.

Zadání vyhovují hodnoty n = 1, Q = 1 (Pepa našel jeden ořech a dal ho jedné dívce) a n = 9, Q = 81 (Pepa našel 81 ořechů a každé z devíti dívek věnoval devět ořechů).
Tyto hodnoty jsem získal za pomoci počítače testováním podmínky rozdělování ořechů pro hodnoty n>0 (n musí být přirozené číslo). Nevím, jakým způsobem získat hodnotu n nebo Q přímo z rovnic.


Řešení číslo 2, autor [matematika.fundamental.cz], přidáno 21.10.2014 16:48

Ještě doplnění.

Srovnáním počtu ořechů první a poslední dívky dostaneme tuto rovnici:

1 + (n * p - 1) / 10 = n + (n * p - (n - 1) * p - n) / 10 (1)

Úpravou této rovnice získáme výsledek p = 9 za podmínky n<>1.